• Document: 3. Вынужденные колебания в линейных системах
  • Size: 510.33 KB
  • Uploaded: 2019-06-13 11:56:33
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

3. Вынужденные колебания в линейных системах 3.1. Действие гармонической внешней силы Рассмотренные в предыдущих разделах колебания возникали при создании опреде- лённых начальных условий − смещения и скорости. Возникающие при этом движения протекали без участия внешних сил, а если силы, обусловленные сопротивлением, возникали, то колебательные процессы затухали. На практике часто требуется колебания поддерживать, что возможно при сообщении колебательной системе энергии от внешнего источника. Такие колебания классифицируют- ся как вынужденные колебания. Рассмотрим колебательную систему в виде массы, соеди- нённой с вертикально расположенной пружи- ной (рис. 3.1). Помимо силы сопротивления к Рис. 3.1. Вынужденные колебания массе приложена внешняя периодическая сила F(t). Уравнение движения в этом случае запишется следующим образом m&x& + rx& + kx = F(t ) . (3.1) Рассмотрим случай, когда внешняя возбуждающая сила изменяется по гармоническому закону с частотой Ω, например, по закону косинуса F = F0 cos Ωt . (3.2) Уравнение (3.1) перепишется в виде m&x& + rx& + kx = F0 cos Ωt . (3.3) Введём следующие обозначения k r F ω0 = , β= . f0 = 0 , (3.4) m 2m m что позволяет уравнение (3.3) переписать в виде &x& + 2βx& + ω02 x = f 0 cos Ωt . (3.5) Неоднородное дифференциальное уравнение (3.5) имеет решение в виде суммы общего решения одноимённого однородного уравнения х1 и частного решения х2 неоднородного уравнения, причём x1 = e −βt ⎛⎜ C1e t β2 −ω02 − t β2 −ω02 ⎞ + C 2e ⎟, (3.6) ⎝ ⎠ x 2 = x 0 cos(Ωt − ϕ ) , (3.7) x = x1 + x 2 = e −βt ⎛⎜ C1e − t β2 −ω02 ⎞ ⎟ + x 0 cos(Ωt − ϕ) . t β2 −ω02 + C2e (3.8) ⎝ ⎠ Первый член уравнения (3.8) характеризует свободные затухающие колебания. Постоян- ные интегрирования С1 и С2, как обычно, определяются путём подстанов

Recently converted files (publicly available):