• Document: Глава 6. Основы теории устойчивости
  • Size: 399.59 KB
  • Uploaded: 2019-06-13 11:46:01
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Глава 6. Основы теории устойчивости Лекция 10 § 1. Постановка задачи. Основные понятия. Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ • x = f ( t, x ) (1) непрерывно зависит от начальных условий при t ∈ [ a, b] , если правая часть f ( t, x ) удовлетворяет условиям теорем существования и единственности . В этой главе мы исследуем зависимость решения задачи Коши от начальных условий, когда t ∈ [t0 , +∞ ) . Будем предполагать, что для системы уравнений (1) выполнены условия теорем существования и единственности на множестве таких точек ( t, x ) , что t ∈ (α , +∞ ) , x ∈ D , где D — открытое множество в пространстве переменного x . Пусть x = ϕ ( t ) — .решение системы уравнений (1) определенное при t ≥ t0 . Определение. Решение x = ϕ ( t ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для ∀ε > 0 ∃ δ (ε ) > 0 : ∀ x0 : ϕ ( t0 ) − x0 < δ , решение x = ψ ( t ) : ψ ( t0 ) = x0 определено при t ≥ t0 и ψ (t ) − ϕ (t ) < ε t ≥ t0 . Если, кроме того, lim ψ ( t ) − ϕ ( t ) = 0 то решение x = ϕ ( t ) называется асимптотически t →∞ устойчивым. Исследование устойчивости решения x = ϕ (t ) системы уравнений (1) может быть сведено к исследованию устойчивости тривиального решения, т. е. некоторого положения равновесия другой нормальной системы. В самом деле, введем новую неизвестную функцию y (t ) = x (t ) − ϕ (t ) , (2) которая удовлетворяет следующей системе уравнений • y = f ( t , y + ϕ ) − f ( t, ϕ ) = f1 ( t, y ) , (3) ( ) где f1 t, 0 = 0 . При этом устойчивость (по Ляпуновy или асимптотическая) решения x = ϕ (t ) равносильна устойчивости решения y = 0 системы уравнений (3). В дальнейшем будем считать, что замена (2) уже сделана. Тогда система уравнений (1) ( ) имеет решение x ≡ 0 , т.е. f t, 0 = 0 . § 2. Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость тривиального решения. Рассмотрим однородную систему из n линейных дифференциальных уравнений • x = Ax , (1) где A — постоянная действительная матрица. Пусть λk = μk + iν k , k = 1, 2,..., m, m≤n — собственные значения матрицы A. Лемма 1. Пусть Re λk = μk < 0, k = 1, 2,..., m , тогда существуют постоянные α > 0, R > 0 такие, что при всех t ≥ 0 для решения системы (1) x = ϕ (t ) справедлива оценка ϕ ( t ) ≤ Re −α t , m где норма вектор-функции y ≡ y Rm = ∑( y ) i =1 i 2 . Доказательство. Как было показано ранее, любое решение x = ϕ ( x ) системы уравнений (1) имеет вид

Recently converted files (publicly available):