• Document: 52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:
  • Size: 475.86 KB
  • Uploaded: 2018-12-07 08:23:23
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.: 2107601470 - 2107600179 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ 1ο Α. i) Θεωρία , σχολικό σελ. 251. ii) Θεωρία , σχολικό σελ. 224. Β. i) Θεωρία , σχολικό σελ. 273. ii) Θεωρία , σχολικό σελ. 303. Γ. i) Λ ii) Σ iii) Σ iv) Λ v) Λ ΘΕΜΑ 2ο Α) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει η σχέση : z  6  3i  8 . α) Ισχύει : z  6  3i  8  z  (6  3i)  8 . Άρα ο Γ. Τ των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(6,3) και ακτίνα ρ  8 , εξίσωση C : (x  6)2  (y  3)2  64 , και όλα τα εσωτερικά σημεία αυτού. β) Για την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z  6  2i  z  (6  2i) αρκεί να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση του σημείου A(6, 2) από τον προηγούμενο Γ. Τ. Εφόσον το σημείο Α βρίσκεται εκτός του κύκλου C ενώνω το Α με το κέντρο του κύκλου και προεκτείνω μέχρι η ΑΚ να τμήσει τον κύκλο σε 2 σημεία Β και Γ , όπου έστω Β το πιο κοντινό σημείο στο Α και Γ το πιο μακρινό. Τότε : z  6  2i min  (AB)  (ΑΚ)  ρ  13  8  5 και z  6  2i max  (AΓ)  (ΑΚ)  ρ  13  8  21, όπου (ΑΚ)  13 . Τα παραπάνω φαίνονται και στο σχήμα που ακολουθεί 52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.: 2107601470 - 2107600179 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 Β) Εφόσον f παραγωγίσιμη στο  α,β θα είναι και συνεχής στο  α,β . α) Ισχύει : 2 2 z2  z1  z2  z1  z2  z1  z2  z1  (z2  z1)(z2  z1)  (z 2  z1)(z 2  z1)   (z2  z1)(z2  z1)  (z2  z1)(z 2  z1)  z 2z 2  z 2 z1  z1z 2  z1z1   z2z2  z1z2  z2 z1  z1z1  z2 z1  z1z2  z1z2  z 2 z1  2z 2 z1  2z1z2  0   z2 z1  z1z2  0  z1z2  z1z2  0  2Re(z1z2 )  0  Re(z1z2 )  0 Όμως : z1z2  (α2  if(α))(β2  if(β))  α2β2  α2f(β)i  β2f(α)i  f(α)f(β)   z1z2  α2β2  f(α)f(β)  (β2f(α)  α2f(β))i Άρα : Re(z1z2 )  0  α2β2  f(α)f(β)  0  f(α)f(β)  α2β2  0 αφού αβ  0 . 52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.: 2107601470 - 2107600179 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 i) Οπότε η συνάρτηση f είναι συνεχής στο  α,β και ισχύει: f(α)f(β)  0 . Άρα ικανοποιούνται για την f οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x0   α,β  τέτοιο ώστε f(x0 )  0 . ii) Επειδή f(α)f(β)  0 σημαίνει ότι f(α)  f(β) . Άρα η f είναι συνεχής στο  α,β και f(α)  f(β) . Επιπλέον ι σχύει f(α)  f(γ)  f(β) . Άρα ικανοποιούνται για την f οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x1   α,β  τέτοιο ώστε f(x1)  f(γ) . β) Δίνονται : z3  2  if(α) , z4  2  if(β) και z3  z4 . Άρα z3  z4  2  if(α)  2  if(β)  4  f 2 (α)  4  f 2 (β)  4  f 2 (α)  4  f 2 (β)   f 2 (α)  f 2 (β)  f(α)   f(β). Δίνεται επίσης ότι : f(α)  f(β)  0  f(α)  f(β) . Άρα τελικά f(α)  f(β) . Δηλαδή η f

Recently converted files (publicly available):