• Document: Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Колебания Лекция 15 ЛЕКЦИЯ 15
  • Size: 287.93 KB
  • Uploaded: 2019-06-13 11:21:49
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Колебания Лекция 15 ЛЕКЦИЯ 15 Параметрический резонанс. Действие на колебательную систему периодической внешней силы — не единственный путь, чтобы возбудить в ней колебания. Существуют незамкнутые системы, в которых внешнее воздействие сводится к изме- нению со временем их параметров. Простейший пример такого рода — это математический маятник, длина которого l периодическим образом изменяется за счет вытягивания и опускания нити, на конце которой привязан грузик (рис. 1) 1 . l j Рис. 1: Маятник с переменной длиной. Другим широко известным примером являются качели, где человек, приседая и выпрямляясь, периодически изменяет момент инерции си- стемы (рис. 2) 2 . В обоих случаях при определенных условиях в системе Рис. 2: Качели. возникают колебания. Это явление получило название параметриче- 1Смотри физическую демонстрацию из МИФИ: http://www.youtube.com/watch?v=XniyoaHLF74 2И разумеется, положение центра тяжести. Смотри видео http://www.youtube.com/watch?v=6_z6dTsDc14 https://www.youtube.com/watch?v=SwrV5lJrK6k 1 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Колебания Лекция 15 ского резонанса 3 . Рассмотрим условия возникновения параметрического резонанса на примере простейшей колебательной системы — грузика с массой m на пружине — в ситуации, когда периодическим образом меняется жест- кость пружины k 4 . Hесмотря на то, что придумать, как это можно осу- ществить на практике, непросто 5 , можно показать математически, что к задаче такого рода сводятся все задачи о параметрическом резонансе в системах с одной степенью свободы (в том числе и перечисленные выше). Уравнение движения запишем в виде mẍ + k(t)x = 0. (1) Пусть жесткость пружины меняется по простому гармоническому закону k(t) = k0 (1 + h cos γt). Тогда, разделив на массу, уравнение движения можно переписать так: ẍ + ω02 (1 + h cos γt)x = 0, (2) p где ω0 = k0 /m — невозмущенная частота собственных колебаний си- стемы. Величину возмущения h мы будем считать малой, h ¿ 1. Будем решать это уравнение по теории возмущений по малому пара- метру h. В нулевом приближении, то есть при h = 0, решением урав- нения (2) является, как известно, функция a0 cos(ω0 t + α). Поэтому при малом, отличном от нуля h можно полагать, что решение будет слабо от- личаться от невозмущенного решения. Поэтому будем искать его в виде x = a0 cos(ω0 t + α) + x1 , (3) где x1 — мало и предполагается, что оно пропорционально малому пара- метру h. Подставляя это x в уравнение (2), получаем уравнение для малой до- бавки x1 ẍ1 + ω02 x1 = −hω02 a0 cos γt cos(ω0 t + α), (4) 3 Широко используемым на практике, примером параметрического резонанса, может служить, используемый во многих областях, пар

Recently converted files (publicly available):