• Document: EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES. Juan Jesús Pascual. Inecuaciones
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MATEMÁTICAS TIMONMATE EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES Juan Jesús Pascual Inecuaciones Índice ejercicios resueltos A. Inecuaciones lineales con una incógnita B. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita C. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita D. Inecuaciones lineales con dos incógnitas E. Inecuaciones de valor absoluto F. Inecuaciones racionales Ejercicios resueltos A. Inecuaciones lineales con una incógnita x−1 3x − 3 1. − +1< 4 2 Solución: x−1 3x − 1 x − 1 1 ⋅ 4 (3x − 1)⋅ 2 − +1< ⇒− + < ⇒ 4 2 4 4 4 ⇒ −x + 3 < 6x − 2 ⇒ 5 < 5x ⇒ x > 1 ⇒ x ∈ (1, ∞) x−2 x−1 x−3 2. − > −1 3 4 2 Solución: x−2 x−1 x−3 4 (x − 2) 3 (x − 1) 6 (x − 3) 12 − > −1 ⇒ − > − 3 4 2 12 12 12 12 ⇒ 4x − 8 − 3x + 3 > 6x − 18 − 12 ⇒ ⇒ −5x > −25 ⇒ x < 5 ⇒ x ∈ (−∞ , 5) B. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita 3. x 2 − 8x + 12 ≤ 0 Solución: http://perso.wanadoo.es/timonmate/ 1/8 J. Pascual Ecuaciones no lineales resueltas TIMONMATE Obtenemos las raíces de x 2 − 8x + 12 = 0 con dos fines: Primero, factorizar el polinomio que aparece en el primer miembro y segundo, determinar las tres zonas a estudiar para las que se verifica la inecuación: 2 2 8 ± (−8) − 4 ⋅ 12 8 ± 16 x 1 = 6 x − 8x + 12 = 0 ⇒ x = = = , por lo que: 2 2 x 2 = 2 x 2 − 8x + 12 ≤ 0 ⇒ (x − 2)(x − 6) ≤ 0 Estos dos puntos determinan tres zonas: los valores menores o iguales que 2, los valores comprendidos entre 2 y 6, ambos incluidos, y los valores mayores o iguales que 6. Veamos en cuáles de estas tres zonas se satisface la inecuación: zona 1 zona 2 zona 3 Vía rápida de solución: (−∞, 2 ] [ 2, 6 ] [ 6, ∞) La inecuación (x − 2) − + + (x − p)(x − q ) ≤ 0 , con ( x − 6) − − + p < q , tiene por solución (x − 2)(x − 6) + − + el intervalos [p, q ] Conclusión: Sólo la zona 2 satisface la ecuación, es decir, la solución final es: x ∈ [ 2, 6 ] 4. x 2 + x − 6 > 0 Solución: Obtenemos las raíces de x 2 + x − 6 = 0 con dos fines: Primero, factorizar el polinomio que aparece en el primer miembro y segundo, determinar las tres zonas a estudiar para las que se verifica la inecuación. 2 1 ± (−1) − 4 ⋅ (−6) 1 ± 25  x 1 = 3 2 x + x−6 = 0 ⇒ x = = =  , por lo que: 2 2 x 2 = −2 2 x + x − 6 > 0 ⇒ ( x − 3)(x + 2) > 0 Vía rápida de solución: zona 1 zona 2 zona 3 La inecuación (−∞ , −2) (−2, 3) (3, ∞) (x − p)(x − q ) > 0 , con (x + 2) − + + p < q , tiene por (x − 3) − − + soluciones los (x − 3)(x + 2) + − + intervalos (−∞, p) ∪ (q, ∞) J. Pascual 2/8 http://perso.wa

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