• Document: НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Понятие натурального числа является исходным понятием арифметики. Аксиомы натуральных чисел были
  • Size: 386.93 KB
  • Uploaded: 2019-03-14 12:28:52
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Понятие натурального числа является исходным понятием арифметики. Аксиомы натуральных чисел были сформулированы итальянским математиком Д. Пеано: 1. Для каждого натурального числа n существует только одно, следующее за ним натуральное число, обозначаемое n'. 2. Единица, обозначаемая 1, является натуральным числом, причем она не следует ни за каким натуральным числом. 3. Ни одно натуральное число не следует за двумя различными натуральными числами. 4. Если множество A содержит единицу и вместе с каждым числом n содержит следующее за ним натуральное число n', то A содержит все натуральные числа. Используя эти аксиомы, для натуральных чисел определяются операции сложения, умножения, деления, отношение порядка и др. В частности, по определению полагается n + 1 = n’. Четвертую аксиому Пеано называют аксиомой математической индукции и именно на ней основан метод математической индукции, состоящий в следующем. Предположим, что нам требуется проверить истинность некоторого утверждения P(n), зависящего от натурального n, для всех натуральных чисел n. Для этого сначала проверяется истинность утверждения P(1). Затем доказывается, что из истинности утверждения P(n) следует истинность утверждения P(n+1). Тогда из этого следует, что утверждение P(n) истинно для всех натуральных чисел n. Действительно, обозначим через A множество натуральных чисел n, для которых истинно утверждение P(n). Тогда единица принадлежит A и из того, что n принадлежит A следует, что n+1 принадлежит A. Из аксиомы индукции вытекает, что A содержит все натуральные числа, т.е. утверждение P(n) справедливо для всех натуральных чисел. Приведем пример использования метода математической индукции. Пример 1. Докажите, что для любого натурального n имеет n(n  1) место равенство: 1 + 2 + … + n = . 2 Доказательство. Непосредственная проверка показывает, что данное равенство верно для n = 1. Предположим, что оно верно для n и докажем, что оно верно для n + 1. n(n  1) Имеем 1 + 2 + … + n + (n + 1) = + (n + 1) = 2 n(n  1)  2(n  1) (n  1)(n  2)  . Что и требовалось доказать. 2 2 Следующие примеры предлагаем для самостоятельного доказательства. Пример 2. Докажите, что для любого натурального n имеет место равенство: 1 + 3 + … + (2n – 1) = n2. Пример 3. Докажите, что для любого натурального n имеет (n  1)n(n  1) место равенство: 1  2  2  3  ...  (n  1)n  . 3 Пример 4. Докажите, что для любого натурального n имеет n(n  1)(2n  1) место равенство: 12  22  ...  n2  . 6 Пример 5. Докажите, что для любого натурального n имеет

Recently converted files (publicly available):