• Document: ϕ называется ортогональной на [ a, b]
  • Size: 655.95 KB
  • Uploaded: 2019-06-14 02:35:12
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

ТЕМА V. РЯД ФУРЬЕ. ЛЕКЦИЯ 16. Разложение периодической функции в ряд Фурье. Многие процессы происходящие в природе и технике, обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими. Примерами периодических процессов могут служит движение шатуна и поршня в двигателях, явления связанные с распространением электромагнитных колебаний. Периодические процессы математически описываются с помощью периодических функций. Простейший периодический процесс – гармоническое колебание и синусоидальное колебание описывается периодическими функциями вида A sin(ωx + ϕ ) . Более сложные периодические процессы описываются функциями, составленными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых такого вида. Математическим аппаратом для исследования таких задач и служат ряды Фурье, для которых тригонометрические функции взяты в качестве базовых. Тригонометрическая система функций и её ортогональность на отрезке [− π , π ] . Последовательность функций {ϕ n (x)} называется ортогональной на [a, b] , если для b каждых двух функций, входящих в нее, выполняется условие ∫ϕ a k ( x)ϕ p ( x)dx = 0, k ≠ p. Рассмотрим тригонометрический ряд, члены которого представляют собой последовательность функций с периодом 2π : 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , cos 3 x , sin 3 x ,..., cos nx , sin nx , .... (1) Покажем, что эта последовательность функции является ортогональной на [− π ; π ] Действительно, имеем π 1 1 = − (cos kπ − cos(−kπ )) = 0 , ∀k π 1) − ∫π1sin kxdx = − k cos kx −π k (2) π 1 = 0, k ≠ 0 π 2) − ∫π1cos kxdx = k sin kx −π (3) π π 1 3) ∫ sin px cos kxdx = [sin( p + k ) x + sin( p − k ) x]dx = −π 2 −∫π π π 1 1 = ∫ 2 −π sin( p + k ) xdx + ∫ sin( p − k ) xdx = 0 , ∀k, p 2 −π (4) π π 1 4) ∫ cos kx cos pxdx = ∫ [cos(k + p) x + cos(k − p ) x]dx = 0, k ≠ p −π 2 −π 130 π π π 1 1 1 1 ∫ cos kxdx = ∫ (1 + cos 2kπ )dx = ( x + sin 2kx ) = (π + π ) = π , k = p 2 −π 2 −π 2 2k

Recently converted files (publicly available):