• Document: Теория вероятностей. Примеры решений типовых задач и задания для студентов
  • Size: 1.42 MB
  • Uploaded: 2019-04-15 14:05:26
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

CoolReferat.com Кремер Н.Ш. Теория вероятностей Примеры решений типовых задач и задания для студентов 1 ГЛАВА Основные понятия и теоремы теории вероятностей В главе рассматриваются:  классификация событий;  классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности;  непосредственное вычисление вероятностей;  действия над событиями;  теоремы сложения и умножения вероятностей;  формула Байеса. Типовые задачи Пример 1.1 Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только 2-й экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен. Решение а) Обозначим события: Ai – студент сдаст i-й экзамен (i = 1, 2, 3); В – студент сдаст только 2-й экзамен из трех. Очевидно, что В = A1 A2 A3 , т.е. совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены. Учитывая, что события A1, А2, А3 независимы, получим P ( B )  P ( A1 A2 A3 )  P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )  0,1 * 0,9 * 0,2  0,018 б) Пусть событие С – студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен из трех, или только 2-й, или только 3-й, т.е. P (С )  P ( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )  0,9 * 0,1 * 0,2  0,1 * 0,9 * 0,2  0,1 * 0,1 * 0,8  0,044 в) Пусть событие D – студент сдаст все три экзамена, т.е. D = A1A2A3. Тогда P( D)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  0,9 * 0,9 * 0,8  0,648 г) Пусть событие Е – студент сдаст по крайней мере два экзамена (иначе: «хотя бы два» экзамена или «не менее двух» экзаменов). Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех экзаменов, т.е. E  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 и P( E )  0,9 * 0,9 * 0,2  0,9 * 0,1 * 0,8  0,1 * 0,9 * 0,8  0,9 * 0,9 * 0,8  0,954 д) Пусть событие F – студент сдал хотя бы один экзамен (иначе: «не менее одного» экзамена). Очевидно, событие F представляет сумму событий С (включающего три варианта) и Е (четыре варианта), т.е. F = А1 + А2 + А3 = С + Е (семь вариантов). Однако проще найти вероятность события F, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант – F = A1  A2  A3  A1 A2 A3 , т.е. применить формулу (1.27). Итак, P ( F )  P ( A1  A2  A3 )  1  P ( F )  1  P ( A1 A2 A3 )  1  P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )  1  0,1 * 0,1 * 0,2  0,998 т.е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным. Пример 1.2 Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя элемента К1 или одновременный выход из строя двух элементов – К2 и К3. Элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность разрыва электрической цепи? Решение Обозначим события: Ai - выход из строя эл

Recently converted files (publicly available):