• Document: Exercícios Resolvidos Teorema da Divêrgencia. Teorema de Stokes
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Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Exercı́cios Resolvidos Teorema da Divêrgencia. Teorema de Stokes Exercı́cio 1 Considere a superfı́cie S definida por S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1 ; z > 0} e o campo vectorial F (x, y, z) = (−y, x, xz + y) Calcule o fluxo do rotacional do campo F através de S segundo a normal unitária cuja terceira componente é negativa, usando a) Teorema da divergência. b) Teorema de Stokes. Resolução: a) Para usar o teorema da divergência, consideremos o domı́nio regular D definido por D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 1 ; z > 0} A fronteira de D contém as superfı́cies S e B, sendo B definida por B = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0 ; x2 + y 2 < 1} Então, aplicando o teorema da divergência ao campo vectorial rot F e ao domı́nio D, obtemos Z Z Z Z Z div(rot F ) = rot F · ν D ∂D Z Z Z Z = rot F · ν + rot F · ν S B S B em que ν é a normal unitária e exterior em S e ν é a normal unitária e exterior em B. S B Dado que B é uma superfı́cie horizontal, temos ν = (0, 0, −1) B Por outro lado, div(rot F ) = 0 e, portanto, Z Z Z Z rot F · ν = − rot F · ν S B S B e, tendo em conta que, em B, rot F = (1, −z, 2) = (1, 0, 2) obtemos Z Z Z Z rot F · ν = − (1, 0, 2) · (0, 0, −1) S S B = 2 Vol2 (B) = 2π Dado que a normal ν é exterior a D em S, tem terceira componente positiva e, portanto, S o fluxo pretendido é o simétrico do que foi calculado através do teorema da divergência, ou seja, −2π. 1 b) Para usar op teorema de Stokes, notemos que a superfı́cie S é orientável por ser o gráfico da função z = 1 − x2 − y 2 , e a respectiva fronteira é a linha ∂S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0 ; x2 + y 2 = 1} z 1 S PSfrag replacements ν B y 1 ∂S x Figura 1: Orientação de S e de ∂S Dado que a normal unitária ν a considerar tem terceira componente negativa, a fronteira ∂S deve ser descrita no sentido negativo, tal como se ilustra na figura 1, ou seja, ∂S deve ser parametrizada por γ(t) = (cos t, − sen t, 0) ; 0 < t < 2π Do teorema de Stokes, obtemos, Z Z Z rot F · ν = F · dγ S ∂S Z 2π = (sen t, cos t, − sen t) · (− sen t, − cos t, 0)dt 0 = −2π tal como na alı́nea anterior. 2 Exercı́cio 2 Um vaso de manjerico limita um volume da forma V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 < z,

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