• Document: ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
  • Size: 219.91 KB
  • Uploaded: 2019-06-13 11:46:09
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Устойчивость линейной системы Рассмотрим систему двух уравнений. Уравнения возмущенного движения имеют вид: 𝑑𝑥1 = −𝑥2 + 𝑎𝑥31 , 𝑑𝑡 𝑑𝑥2 = 𝑥1 + 𝑎𝑥32 , 𝑑𝑡 где 𝑎 — параметр. Невозмущенное движение будет в случае 𝑥1 = 𝑥2 = 0. Пусть 𝑎 = 0. Тогда 𝑥1 (𝑡) = 𝑥1 (0) cos 𝑡 − 𝑥2 (0) sin 𝑡, 𝑥2 (𝑡) = 𝑥1 (0) sin 𝑡 + 𝑥2 (0) cos 𝑡. Линейная система устойчива, так как 𝜖 𝜖 > 0, 𝛿=√ , 2 |𝑥u� (𝑡)| < 𝜖 (𝑖 = 1, 2), 𝑡 ≥ 0. В нелинейном уравнении домножим первое уравнение исходной системы на 𝑥1 , второе на — 𝑥1 , после чего сложим результаты: 𝑥1̇ 𝑥1 + 𝑥2̇ 𝑥2 = 𝑎(𝑥41 + 𝑥42 ), 𝑑(𝑥21 + 𝑥22 ) = 2𝑎(𝑥41 + 𝑥42 ). 𝑑𝑡 Производная в последнем равенстве совпадает со знаком 𝑎, поэтому при 𝑎 > 0 — неустойчивость, при 𝑎 < 0 — асимптотическая устойчивость. Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и, ! возможно, содержит смысловые ошибки. 2 Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru. 𝑑𝑥⃗ = 𝐴𝑥 ⃗ + … , (17.1) 𝑑𝑡 𝑥1 𝑥⃗ = ∥ ⋮ ∥ . 𝑥u� Будем считать, что 𝐴𝑥⃗ — линейная часть системы с постоянной матрицей 𝐴. Также будем считать движение установившимся, т. е. время в систему не входит. За многоточие обозначена совокупность членов выше первой степени относительно 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥u� . Характеристическое уравнение: det ‖𝐴 − 𝜆𝐸‖ = 0, (17.2) корни этого уравнения 𝜆1 , … , 𝜆u� . Теорема 25 (Ляпунова по приближению первой степени (без доказательства)) Если все корни характеристического уравнения (17.5) имеют отрицательные веществен- ные части, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво вне зависимости от нелинейной части. Если же среди корней уравнения (17.5) есть хотя бы один с поло- жительной вещественной частью, то движение неустойчиво. Если же уравнение (17.5) имеет корни с нулевой вещественной частью, то можно подобрать нелинейную часть так, чтобы имели место и устойчивость, и неустойчивость (критический случай). ∗ Рис. 17.1 2. Критерий Рауса – Гурвица Рассмотрим характеристическое уравнение: 𝑓(𝜆) = 𝑎0 𝜆u� + 𝑎1 𝜆u�−1 + ⋯ + 𝑎u� = 0. (17.3) Будем считать, что 𝑎0 > 0. Необходимое условие того, что все корни уравнения (17.6) имеют отрицательные ве- Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой. ! Об обнаруженных неточностях и

Recently converted files (publicly available):