• Document: ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ
  • Size: 223.64 KB
  • Uploaded: 2019-06-13 11:41:42
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения рав- новесия консервативной системы Пусть имеется 𝑛 степеней свободы. 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞u� — обобщённые координаты материальной системы. Потенциальная энергия консервативной системы есть функция обобщённых координат: Π = Π(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞u� ). Вспомним, что положения равновесия консервативной системы находятся из условия 𝜕Π = 0, (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) 𝜕𝑞u� — система из 𝑛 уравнений и 𝑛 неизвестных. Без ограничения общности будем считать, что положением равновесия является по- ложение 𝑞1 = 𝑞2 = … = 𝑞u� = 0. Этого всегда можно добиться сдвигом начала координат в точку положения равно- весия. Определение 52: устойчивости положения равновесия по Ляпунову Положе- Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и, ! возможно, содержит смысловые ошибки. 2 Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru. ние равновесия 𝑞1 = 𝑞2 = … = 𝑞u� = 0 называется устойчивым, если ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 = 𝛿(𝜀) ∶ в любой момент времени 𝑡 ⩾ 𝑡0 верно: ∣𝑞u� (𝑡)∣ < 𝜀, ∣𝑞u�̇ (𝑡)∣ < 𝜀, (16.1 ) если в начальный момент времени 𝑡 = 𝑡0 выполнено ∣𝑞u� (𝑡0 )∣ < 𝛿, ∣𝑞u�̇ (𝑡0 )∣ < 𝛿. (16.2 ) ♣ Рис. 16.1 Теорема 22 (Лагранжа (Лагранжа – Дирихле) об устойчивости положения равновесия Если в положении равновесия потенциальная энергия консервативной системы имеет строгий локальный минимум, то это положение равновесия устойчиво. ∗ 4cm Рис. 16.2 По определению, функция Π(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞u� ) имеет строгий локальный минимум в точке 𝑞1 = 𝑞2 = … = 𝑞u� = 0, если ∃𝜂 > 0 ∶ ∀∣𝑞u� ∣ < 𝜂 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) Π(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞u� ) > Π(0, 0, … , 0), если хотя бы одна из 𝑞u� отлична от нуля. Пример 2 Функция (𝑞1 − 𝑞2 )2 имеет в начале координат минимум, но этот минимум не является строгим, поскольку достигается на всей прямой 𝑞1 = 𝑞2 . ∗ Пример 3 Функция 𝑞12 + 𝑞22 имеет строгий минимум в начале координат. ∗ Для определённости будем считать, что Π(0, 0, … , 0) = 0 (потенциальную энергию всегда можно изменить на произвольную аддитивную посто- янную). Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой. ! Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на pulsar@ phystech. edu Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и, 3 ! возможно, содержит смысловые ошибки. Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru. Док-во: Доказательство теоремы 22: 1.

Recently converted files (publicly available):