• Document: 2. Funktionen und Entwurf digitaler Grundschaltungen
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2. Funktionen und Entwurf digitaler Grundschaltungen 2.1 Kominatorische Schaltungen Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 1 Grundgesetze der Schaltalgebra UND-Verknüpfung ODER-Verknüpfung NICHT-Verknüpfung UND-Verknüpfung ODER-Verknüpfung NICHT-Verknüpfung Prof. Dr. Dieter Monjau TU Chemnitz-Zwickau Fakultät für Informatik Lehrstuhl Rechnersysteme WS 1994/95 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 2 Kommutativgesetz (20) A ∧ B ∧ C = C ∧ A ∧ B (21) A ∨ B ∨ C = C ∨ A ∨ B Assoziativgesetz (22) A ∧(B ∧ C) = (A ∧ B)∧ C (23) A ∨(B ∨ C) = (A ∨ B)∨ C Distributivgesetz Konjunktives Distributivgesetz Disjunktives Distributivgesetz (24)(A∧B) ∨ (A∧C) = A ∧(B ∨ C) (25)(A∨B) ∧ (A∨C) = A ∨(B ∧ C) Morgansche Gesetze (26) A ∧ B = A ∨ B (27) A ∨ B = A ∧ B Prof. Dr. Dieter Monjau TU Chemnitz-Zwickau Fakultät für Informatik Lehrstuhl Rechnersysteme WS 1994/95 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 3 Rechenbeispiele Vereinfachung von Schaltfunktionen Beispiel 1: Z = A ∨ B ∨ B ∨ C = A ∨ (B ∨ B) ∨ C = A ∨ 1 ∨ C = (A ∨ C) ∨ 1 (Gl. 18 u. 21) Z = 1 (Gl. 16) Beispiel 2: X = (M ∧ N) ∨ (M ∧ N ∧ M) = (M ∧ N) ∨ (M ∧ M ∧ N) (Gl. 20) = (M ∧ N) ∨ (0 ∧ N) = (M ∧ N) ∨ 0 (Gl. 14 u. 11) X = M ∧ N (Gl. 15) Beispiel 3: Z = B ∨ (A ∧ B ∧ C) ∨ B = B ∨ B ∨ (A ∧ B ∧ C) (Gl. 21) Die Reihenfolge der ODER-Verknüpfung ist beliebig. Der Ausdruck B ∨ B ergibt 1. (Gl. 18) Z = 1 ∨ (A ∧ B ∧ C) Der Klammerausdruck wird als eine Variable aufgefaßt. Eine Variable ODER 1 ergibt 1. (Gl. 16) Z = 1 Beispiel 4: Z = X ∧ (X ∨ S) Nach dem Distributivgesetz (Gl. 24) kann "ausmultipliziert" werden: Z = X ∧ (X ∨ S) = (X ∧ X) ∨ (X ∧ S) = 0 ∨ (X ∧ S) (Gl. 14) Z = X ∧ S (Gl. 15) Mit Hilfe einer Wahrheitstabelle kann die Richtigkeit der Rechnung nachgeprüft werden. Fall C B B B ∨ C Z = B ∧(B ∨ C) B ∧ C 1 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 3 1 0 1 1 0 0 4 1 1 0 1 1 1 |____________| Prof. Dr. Dieter Monjau TU Chemnitz-Zwickau Fakultät für Informatik Lehrstuhl Rechnersysteme WS 1994/95 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 4 Beispiel 5: Z = A ∨ B ∧ A ∨ B ∨ C Der durchgehende Negationsstrich wird zuerst durch das Morgansche Gesetz (27) beseitigt: Z = A ∨ (B ∧ A ∧ B ∧ C) = A ∨ (B ∧ A ∧ B ∧ C) Die Variablen werden anders sortiert: Z = A ∨ (B ∧ B ∧ A ∧ C) = A ∨ (0 ∧ A ∧ C) (Gl. 14) Eine Variable UND 0 ergibt 0. Der Ausdruck A ∧ C gilt als eine Variable. Z = A ∨ 0 Z = A (Gl. 15) Beispiel 6: Y = A ∧ X ∨ A ∧ B ∧ X ∨ B ∧ X Der oberste Negationsstrich wird durch das Morgansche Gesetz (27) beseitigt. Doppelte Negationsstriche gleicher Länge heben sich auf und können wegfallen(Gl. 19). Durchgehende Negations- striche wirken wie Klammern. Wenn sie wegfallen, ist zu prüfen, ob Klammern gesetzt werden müssen oder nicht. Hier sind Klammern erforderlich. Y = A ∧ X ∨ A ∧ B ∧ X ∨ B ∧ X = (A ∧ X ∨ A ∧ B ∧ X) ∧ B ∧ X Nun werden die kürzeren Negationsstriche beseitigt und die Variablen sortiert: Y = (A ∨ X ∨ A ∨ B ∨ X) ∧ B ∧ X = (A ∨ A ∨ X ∨ X ∨ B) ∧ B ∧ X (Gl. 19) = (1 ∨ X ∨ B) ∧ B ∧ X (Gl. 17 u. 18) = 1 ∧ B ∧ X (Gl. 16) Y = B ∧ X (Gl. 12) Prof. Dr. Dieter Monjau TU Chemnitz-Zwickau Fakultät für Informatik Lehrstuhl Rechnersysteme WS 1994/95 Kombinatorische Schaltungen

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