• Document: Асимптотические методы теории нелинейных колебаний
  • Size: 535.4 KB
  • Uploaded: 2019-06-13 11:14:43
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Лекция 9 Лекция 9 Асимптотические методы теории нелинейных колебаний Разложение в ряд по параметру нелинейности. Осциллятор с квадратичной нелинейностью Случаи, когда удается найти точные решения в явной аналитической форме, которым была посвящена предыдущая лекция, представляют, скорее, исключение из правил. По- этому в теории колебаний разработан богатый арсенал приближенных или асимптоти- ческих методов. Основные идеи наиболее важных из них будут рассмотрены в настоя- щей главе. Начнем с осциллятора с квадратичной нелинейностью x + ω02 x + αx 2 = 0 . (9.1) Как было показано в лекции 8, это уравнение можно привести к универсальному виду, не содержащему параметров. Однако здесь для наших целей больше подходит несколь- ко иная нормировка переменных. Пусть известен некоторый характерный масштаб ко- лебаний A . Введем безразмерные время и координату следующим образом: t ′ = ω0t , x′ = x A . (9.2) Уравнение (9.1) примет вид (штрихи у безразмерных переменных опускаем) x + x + εx 2 = 0 , (9.3) где ε = αA ω02 . Рассмотрим случай слабой нелинейности, когда ε 1 , т.е. уравнение (9.3) содержит малый параметр. Вообще, следует отметить, что условием применимо- сти любого асимптотического метода является присутствие в уравнении малого (или большого) параметра. Уравнение (9.3) близко к уравнению линейного консервативного осциллятора, оно отличается от него малым слагаемым порядка ε . Поэтому интуитивно ясно, что решение будет иметь вид квазигармонических (т.е. почти гармонических, близких к гармоническим) колебаний. Попробуем построить приближенное решение уравнения (9.3). Наиболее простой способ, очевидно, состоит в том, чтобы искать решение в виде ряда по степеням малого параметра ε : 132 Асимптотические методы теории нелинейных колебаний x ( t ) = x1 ( t ) + εx2 ( t ) + ε 2 x3 ( t ) +… , (9.4) считая x1,2,… величинами порядка единицы. В литературе подобный прием называют методом разложения по малому параметру или прямым разложением. Подставив ряд (9.4) в уравнение (9.3), получим x1 + εx2 + ε 2 x3 + … + x1 + εx2 + ε 2 x3 + … + εx12 + 2ε 2 x1 x2 + … = 0 . (9.5) Приравнивая в (9.5) к нулю члены при одинаковых степенях ε , приходим к системе «зацепляющихся» уравнений ε 0 : x1 + x1 = 0 , (9.6) ε1 : x2 + x2 + x12 = 0 , (9.7) ε 2 : x3 + x3 + 2 x1 x2 = 0 , (9.8) Уравнение (9.6) есть уравнение гармонического осциллятора, решение которого имеет вид x1 = a cos ( t + ϕ ) , (9.9) где амплитуда a и начальная фаза ϕ — постоянные, определяемые из начальных усло- вий. Далее подставим решение (9.9) в уравнение (9.7), чтобы найти x2 :

Recently converted files (publicly available):