• Document: 4. Свободные затухающие колебания в линейных неконсервативных системах
  • Size: 269.16 KB
  • Uploaded: 2019-06-12 23:53:54
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

4 . С во б о д н ые з а т ух а ю щ ие ко л е б а н и я в л ин е й н ых н е ко н с е р ва т и вн ых с ис т е м а х Еще раз отметим, что консервативные и линейные системы в реальности не сущест- вуют. Все колебательные системы в определенной мере являются и нелинейными, и некон- сервативными. Все дело в степени значимости этих свойств. В рассмотренных выше систе- мах мы пренебрегали ими, считая их не существенными. Теперь мы будем считать только нелинейность несущественным фактором, а общее количество энергии в системе уже не бу- дем считать постоянным. Имеющаяся в системе в начальный момент времени энергия убы- вает в механических системах из-за трения, а в электромагнитных из-за омического сопро- тивления и излучения реактивных элементов. Ниже мы будем рассматривать именно такие системы. Но прежде обратимся на некоторое время к математическому анализу. 4.1. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение вида y 2 p ( x) y q( x) y 0. Здесь у функция от х, а штрихами обозначены ее производные по х. (Коэффициент 2 при первой производной введен для удобства решения задачи затухающих колебаний). Если р(х) и q(x) вещественные постоянные, то уравнение упрощается: y 2 py qy 0. (4.1.1) Если у1 решение уравнения (4.1.1), то и Су1 (С произвольная постоянная) есть ре- шение этого уравнения. Также если у1 и у2 являются решениями уравнения, то и y C1 y1 C2 y 2 (4.1.2) есть решение этого уравнения при произвольных постоянных С1 и С2. Таким образом, реше- ния линейного однородного уравнения (4.1.1) можно умножать на произвольные постоянные и складывать, после чего опять получается решение. Для нахождения решения (4.1.1) подставим в него (подстановка Эйлера) y e rx , (4.1.3) где r некоторое вещественное или комплексное число. Дифференцируя и вынося erx за скобки, получим e rx (r 2 2 pr q) 0. Функция (4.1.3) является решением уравнения (4.1.1), если r есть корень квадратного урав- нения r2 2 pr q 0, (4.1.4) которое называется характеристическим уравнением для уравнения (4.1.1). Корни квадрат- ного уравнения вычисляются по известной формуле r1, 2 p p2 q. В зависимости от соотношения p и q дифференциальное уравнение (4.1.1) может иметь три различных решения: 1. p2>q. Тогда корни r1,2 вещественные числа. Согласно (4.1.3) решениями будут y1 e r1 x и y 2 e r2 x , а общее решение будет иметь вид y C1e r1 x C 2 e r2 x . (4.1.5) p2<q. Тогда r1, r2 мнимые сопряженные числа: r1 p i q p2 , r1 p i q p2 .

Recently converted files (publicly available):