• Document: Лекция 1. Исследование движения в консервативной системе с одной степенью свободы
  • Size: 337.66 KB
  • Uploaded: 2019-06-12 14:23:42
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Лекция 1 Исследование движения в консервативной системе с одной степенью свободы 1. Основные понятия. Консервативной системой с одной степенью свободы мы будем называть систему, описываемую дифференциальным урав- нением d 2x  f ( x)  0 . (1) dt 2 Функция f (x) в (1) в дальнейшем предполагается гладкой. Одним из главных свойств консервативной системы является наличие первого интеграла – интеграла энергии 2 1  dx      ( x)  C . (2) 2  dt  Функция (x) в выражении (2) интерпретируется как потенциальная энергия системы: x ( x)  0 f (x) dx . Постоянную C называют постоянной энергии. 2. Метод фазовой плоскости. Уравнение (1) эквивалентно системе двух дифференциальных уравнений dx  , (3) dt d   f (x). dt О.: Фазовой плоскостью уравнения (1) называют плоскость с координа- тами ( x, ) . Решение системы (3) описывает движение фазовой точки ( x(t ),(t )) по фа- зовой плоскости. О.: Фазовой кривой называют кривую ( x(t), (t)), t  R  1 Фазовая кривая принадлежит множеству уровня энергии 2   ( x)  C . (4) 2 Разрешая соотношение (4) относительно  , получим:    2(C  ( x)) . (5) Если известно выражение для потенциальной энергии (x) , формула (5) позво- ляет построить линии уровня интеграла энергии (рис. 1). Линии уровня состоят из одной, двух или большего количества ветвей. Располагая линиями уровня, можно сделать заключение о поведении фазовых траекторий («расставить стрелки»). Пример: потенциал с двумя ямами. Критический уровень энергии – уровень, содержащий положения равновесия. Сепаратриса – кривая, разде- ляющая области с разным пове- дением фазовых траекторий. Вопрос: из какого количества фазовых кривых состоит сепа- ратриса на рис. 1? Рис. 1 Пример: линейный осциллятор. d 2x (6) 2 2x  0 dt Уравнение (6) допускает интеграл энергии 1  dx   2 x 2 2    C. (7) 2  dt  2 Выражение для фазовы

Recently converted files (publicly available):