• Document: Applications des nombres complexes à la géométrie
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Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d’une structure naturelle de plan affine. La base canonique (1,i) de C et l’origine 0 constituent un repère cartésien naturel pour ce plan. On appellera ce plan plan complexe. Réciproquement, le choix d’un repère cartésien (O,~i,~j) permet d’identifier tout plan affine E à R2 , ou encore à C : au point M de coordonnées (x,y) on associe le nombre complexe z = x + iy, qu’on appelle affixe de M . On peut également définir l’affixe d’un vecteur : − → l’application qui au vecteur ~u = x~i + y~j de E associe le nombre complexe x + iy est un − → isomorphisme d’espaces vectoriels, qui permet d’identifier E à C. Cela permet de ramener certains problèmes géométriques à des problèmes d’algèbre. Exercice 6.1. Polygone des milieux (3). Reprendre l’exercice 2.13 (polygone des milieux) en traduisant le problème en un système de n équations linéaires à n inconnues dans C. Discuter le rang de ce système selon la parité de n. Exercice 6.2. Montrer qu’une application f du plan complexe dans lui-même est affine si et seulement si elle est de la forme f (z) = az + bz̄ + c pour 3 nombres complexes a, b et c. Donner l’expression complexe de f~, ainsi qu’une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que f soit bijective. Mais l’intérêt du plan complexe en géométrie vient surtout de ce qu’il √ possède aussi une structure euclidienne naturelle. En effet l’application z 7→ |z| = z z̄ est une norme euclidienne sur C et la base canonique (1,i) de C est orthonormée pour cette structure euclidienne. Exercice 6.3. Expliciter le produit scalaire d’où provient cette norme. La distance de deux points A et B, d’affixes respectives a et b, est alors d(A,B) = |b − a|.  z2 L’angle (~u1 ,~u2 ) de deux vecteurs non nuls d’affixes respectives z1 et z2 est Arg . z1 z2 En particulier, ces deux vecteurs sont proportionnels si et seulement si est réel, et z1 z2 orthogonaux si et seulement si est imaginaire pur. z1 Exercice 6.4. Montrer que quatre points distincts d’affixes respectives z1 , z2 , z3 , z4 sont alignés ou (z3 − z1 )(z4 − z2 ) cocycliques si et seulement si leur birapport est réel. (z4 − z1 )(z3 − z2 ) Exercice 6.5. Montrer que tout cercle du plan complexe est défini par une équation de la forme z z̄ −az̄ − āz + c = 0, où a est un nombre complexe et c un réel vérifiant c − |a|2 < 0. Montrer que réciproquement toute équation de ce type est celle d’un cercle. Exercice 6.6. Théorème de Ptolémée. Soient A, B, C, D quatre points du plan complexe, d’affixes respectives a, b, c et d. 63 a) Montrer qu’on a toujours l’inégalité : AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC (∗) (le produit des longueurs des diagonales d’un quadrilatère est inférieur à la somme des produits des longueurs des côtés opposés). b) Montrer qu’on a égalité dans (∗) si et seulement si les quatre points A, B, C, D sont cocycliques ou alignés dans cet ordre. 6.2 Similitudes Définition et propriétés générales Définition 6.1. On appelle similitude d’un espace affine euclidien E toute application f de E dans E telle qu’il existe un réel k > 0 tel qu’on ait f (A)f (B) = kAB pour tout couple (A,B) de points de E. Le nombre k est appelé rapport de la similitude. Une similitude de rapport 1 est une isométrie. Une homothétie de rapport λ est une similitude de rapport |λ|. Proposition 6.2. Toute similitude est une transformation affine. L’ensemble des simi- litudes constitue un sous-groupe du groupe GA(E) des transformations affines de E. Les homothéties et les isométries engendrent ce sous-groupe : plus précisément, si f est une similitude de rapport k et h une homothétie de rapport k (et de centre quelconque), f ◦ h−1 est une isométrie. Une similitude f est dite directe si det f~ > 0, indirecte si det f~ < 0. Il résulte de la propositi

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