• Document: Параметрический резонанс и параметрическая неустойчивость в линейной
  • Size: 279.23 KB
  • Uploaded: 2019-06-13 11:24:54
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Лекция 16 Лекция 16 Параметрические колебания нелинейных систем Параметрический резонанс и параметрическая неустойчивость в ли- нейной системе Специфическим видом внешнего воздействия на колебательную систему является пе- риодическое изменение параметров системы во времени. Такое воздействие называется параметрическим. Начнем с краткого напоминания об основных особенностях пара- метрических колебаний в линейных системах1. Рассмотрим простую модельную систему: колебательный контур с переменной емкостью (рис. 16.1). Изменение емкости со временем можно обеспечить, например, механически изменяя расстояние между пластинами конденсатора. В таком случае мгновенные значения заряда q и напряжения u на емкости будут связаны соотноше- нием q ( t ) = C ( t ) u ( t ) . Это позволяет записать дифференциальное уравнение, описы- вающее колебания в контуре 1 q+ q = 0. (16.1) LC (t ) Уравнение (16.1) имеет вид уравнения гармонического осциллятора, собственная час- тота которого зависит от времени. Рис. 16.1. Колебательный контур с переменной емкостью Пусть емкость конденсатора изменяется следующим образом. В моменты вре- мени, когда заряд на конденсаторе максимален, пластины резко раздвигаются. При 1 Параметрические колебания в линейных системах и явление параметрического резонанса достаточно подробно обсуждаются в книге «Линейные колебания и волны», входящей в состав настоящей серии. 252 Параметрические колебания нелинейных систем этом емкость уменьшается от некоторого значения C2 до значения C1 < C2 . Поскольку заряд на конденсаторе при этом не изменяется, напряжение скачком возрастет от зна- чения V2 до значения V1 = C2V2 C1 . В моменты времени, когда заряд равен нулю, пла- стины так же резко сдвигаются; емкость при этом увеличивается, а напряжение остает- ся равным нулю (рис. 16.2). В таком процессе постоянно совершается работа, которая идет на увеличение энергии колебаний. За один период приращение энергии составит (необходимо учесть, что в течение периода пластины раздвигаются дважды) C  ∆W = 2 (W1 − W2 ) = C1V12 − C2V22 = C2V22  2 − 1 . (16.2)  C1  Если ввести обозначения ∆C = C2 − C1 , C = ( C1 + C2 ) 2 и считать, что ∆C C , соот- ношение (16.2) можно переписать в виде ∆C ∆W ≈ 2W . (16.3) C Рис. 16.2. Зависимость от времени емкости и напряжения в колебательном контуре с механически перестраиваемым конденсатором Из приведенных выше рассуждений следует, что для эффективно

Recently converted files (publicly available):