• Document: ЛЕКЦИЯ 14. Вынужденные колебания. Биения. Затухающие колебания. Добротность. Вынужденные колебания при наличии трения. Принцип суперпозиции колебаний.
  • Size: 373.55 KB
  • Uploaded: 2019-06-13 11:29:03
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Колебания Лекция 14 ЛЕКЦИЯ 14 Вынужденные колебания. Биения. Затухающие колеба- ния. Добротность. Вынужденные колебания при наличии тре- ния. Принцип суперпозиции колебаний. Вынужденные колебания Перейдем теперь к рассмотрению колебаний в системе, на которую дей- ствует переменная во времени внешняя сила F (t). Такие колебания назы- вают вынужденными, в отличие от свободных колебаний, рассмот- ренных ранее. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид mẍ + kx = F (t), (1) где F (t) есть внешняя сила. Уравнение движения можно переписать в виде F (t) ẍ + ω 2 x = , (2) m p где мы снова ввели частоту свободных колебаний ω = k/m. По математической терминологии, уравнение (2) представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Слово ”неоднородное” означает, что правая часть этого уравнения отлична от нуля. В матема- тике доказывается теорема, согласно которой общее решение неоднород- ного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффи- циентами является суммой двух выражений, x = x0 + x1 , (3) где x0 — общее решение однородного уравнения (то есть с правой частью равной нулю), а x1 — любое частное решение неоднородного уравнения. В данном случае x0 представляет собой рассмотренные ранее свободные колебания. Рассмотрим, далее, представляющий особый интерес частный случай, когда вынуждающая сила является простой периодической функцией времени с некоторой частотой γ: F (t) = f cos(γt + β). (4) 1 Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Колебания Лекция 14 Частный интеграл уравнения (2) ищем в виде x1 = b cos(γt + β) (5) с тем же периодическим множителем. Подставляя это решение в урав- нение f −γ 2 b cos(γt + β) + ω 2 b cos(γt + β) = cos(γt + β), (6) m мы находим амплитуду вынужденных колебаний f b= . (7) m (ω 2 − γ 2) Прибавляя решение однородного уравнения, получим общее решение в виде f x = a cos(ωt + α) + cos(γt + β). (8) m (ω 2 − γ 2 ) Произвольные постоянные a и α определяются, как и раньше, из началь- ных условий. Мы приходим к выводу, что движение под действием периодической вынуждающей силы представляет собой суперпозицию двух колебаний — с собственной частотой системы ω и с частотой вынуждающей силы γ. Полученное выше решение (8) неприменимо в случае так называемого резонанса 1 , когда частота вынуждающей силы совпадает с собствен- ной частотой системы, то есть

Recently converted files (publicly available):