• Document: Нелинейный маятник. 1 Безразмерное уравнение движения физического маятника с вязким трением.
  • Size: 328.12 KB
  • Uploaded: 2019-06-13 11:04:29
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Нелинейный маятник. 1 Безразмерное уравнение движения физи- ческого маятника с вязким трением. Уравнение движения физического маятника с учётом вязкого трения: 𝐼 𝜙¨ + 𝑏𝜙˙ + 𝑚𝑔𝑎 sin(𝜙) = 0, (1) где 𝐼 – момент инерции, 𝑏 – коэффициент момента сил вязкого тре- ния, 𝑚 –масса маятника, 𝑔- ускорение свободного падения, 𝑎 – рассто- янии от точки подвеса до центра масс. Введя частоту 𝜔0 , перепишем уравнение (1) в виде: 𝑏 𝑚𝑔𝑎 𝜙¨ + 𝜙˙ + sin(𝜙) = 0 𝐼 𝐼 √︂ 𝑚𝑔𝑎 𝜔0 = 𝐼 𝑏 𝜙¨ + 𝜙˙ + 𝜔02 sin(𝜙) = 0 (2) 𝐼 И приведём полученное уравнение (2) к безразмерному виду, удобно- му для анализа: 𝜙¨ 𝑏 𝜙˙ 2 + · + sin(𝜙) = 0 𝜔0 𝜔0 𝐼 𝜔0 𝑑 𝑑 𝑏 𝜏 = 𝜔0 𝑡, = , 𝛽= 𝜔0 𝑑𝑡 𝑑𝜏 𝜔0 𝐼 𝜙′′ + 𝛽𝜙′ + sin(𝜙) = 0 (3) В уравнении (3) производные берутся по безразмерному времени 𝜏 = 𝜔0 𝑡. При этом максимальное значение амплитуды безразмерной ско- рости 𝜙′ соответствующей колебательному движению маятника без зату- хания составляет: 𝜙′𝑚𝑎𝑥 = 2 . Отличие решений уравнения (3) от решения нелинейного маятника без затухания определяется только значением без- размерного параметра 𝛽, который в дальнейшем предполагается малым: 0 < 𝛽 < 0.1 (4) 1 2 Фазовая диаграмма нелинейного маятника с затуханием. С помощью численного решения уравнения (3) можно определить фазо- вый портрет нелинейного маятника для заданных начальных условий и параметра затухания 𝛽. На рисунке 1 приведён пример фазового портрет для 𝛽 = 0.1 и с начальной безразмерной скоростью 𝜙′0 = 2 . На рисунке также показаны красным цветом сепаратрисы нелинейного маятника без затухания ограничивающие область колебательных решений. Рис. 1: Пример фазового портрета для нелинейного маятника с зату- ханием вычисленный с помощью численного интегрирования уравнения движения (3) 2 3 Закон сохранения энергии для нелинейно- го маятника с затуханием Интегрирование уравнения (3) по углу отклонения: ∫︁ ∫︁ ∫︁ ′′ ′ ′ ′ ′ 𝜙 𝑑𝜙+𝛽𝜙 𝑑𝜙+sin(𝜙)𝑑𝜙 = 0 → 𝜙 𝑑𝜙 +𝛽 𝜙 𝑑𝜙+ sin(𝜙)𝑑𝜙 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 → 𝜙′2 ∫︁ − cos(𝜙) = −𝛽 𝜙′ 𝑑𝜙 + 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 (5) 2 Постоянную интегрирования найдём из начальных условий. В на- чальный момент времени (𝜏 = 0) будем считать, что маятник проходит положение равновесия (𝜙 = 0) , и имеет скорость 𝜙′0 , тогда: 𝜙′2 0 −1 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 =

Recently converted files (publicly available):