• Document: 5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil
  • Size: 132.88 KB
  • Uploaded: 2019-05-17 09:54:18
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Bab 5 DERET FOURIER Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial pada setiap tingkat. Untuk fungsi yang tidak terdiferensial masih ada alternatif lain untuk mengekspansikannya ke dalam deret yang disebut deret Fourier. Agar suatu fungsi dapat diekspansi ke dalam deret Fourier maka fungsi tersebut harus periodik. 5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil Definisi 5.1.1. Suatu fungsi f (x) dikatakan fungsi periodik dengan periode T jika untuk setiap x berlaku f (x + T ) = f (x). Contoh 5.1.1. Fungsi f (x) = sin(x) mempunyai periode T = 2π, 4π, 6π, · · · sebab sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) = sin(x + 6π) = · · · Bilangan T paling kecil yang dianggap sebagai periode suatu fungsi. Dalam contoh ini, fungsi f (x) = sin(x) mempunyai periode 2π. Contoh 5.1.2. Fungsi f (x) = sin nx, dengan n suatu bilangan bulat positip merupakan fungsi periodik dengan periode 2π n , sebab     2π 2π f x+ = sin n(x + ) = sin(nx + 2π) = sin nx = f (x). n n 65 66 Ilustrasi untuk n = 2 dapat dilihat pada gambar. Gambar 5.1: Grafik fungsi f (x) = sin 2x dan periodanya Kita dapat membuat fungsi yang didefinisikan pada suatu interval menjadi fungsi periodik dengan cara copy-paste. Artinya, fungsi y = f (x) dengan x ∈ [a, b] diperluas menjadi y = fb(x) dengan x ∈ R yaitu ( f (x) bila x ∈ [a, b] fb(x) = f (x − T ) bila x ∈ / [a, b]. Kita sebut teknik ini dengan periodisasi fungsi. Definisi 5.1.2. Fungsi f (x), x ∈ R dikatakan i. Fungsi ganjil jika f (−x) = −f (x) untuk setiap x ∈ R, ii. Fungsi genap jika f (−x) = f (x) untuk setiap x ∈ R. Contoh 5.1.3. Berikut ini beberapa contoh fungsi genap dan fungsi ganjil. a. Fungsi f (x) = cos x merupakan fungsi genap, sebab cos(−x) = cos x. b. Fungsi f (x) = sin x merupakan fungsi ganjil, sebab sin(−x) = −sinx. c. Fungsi f (x) = x3 merupakan fungsi ganjil, sebab (−x)3 = −x3 . kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 67 Gambar 5.2: Periodisasi fungsi f (x) = x2 , x ∈ [0, 1]. d. Fungsi f (x) = x2 merupakan fungsi genap, sebab (−x)2 = −x2 . e. Fungsi f (x) = ex bukan merupakan fungsi genap maupun fungsi ganjil, sebab e−x 6= ex dan e−x 6= −ex . Berikut ilustrasi grafis fungsi genap dan fungsi ganjil. 5.2 Deret Fourier fungsi periodik Definisi 5.2.1 (Deret Fourier). Misalkan fungsi f (x) periodik dengan periode 2L. Jika fungsi ini terdefinisi pada interval (c, c + 2L) dengan c suatu konstanta maka fungsi ini dapat disajikan dalam bentuk deret a0 X  nπx  ∞ nπx + an cos + bn sin (5.2.1) 2 n=1 L L dengan Z c+2L Z c+2L 1 nπx 1 nπx an = f (x) cos dx dan bn = f (x) sin dx. (5.2.2) L c L L c L Secara khusus, jika fungsi f didefinisikan pada interval (−L, L) yaitu bersesuaian dengan c = −L maka koefisien deret Fourier di atas menjadi Z Z 1 L nπx 1 L nπx an = f (x) cos dx dan bn = f (x) sin dx. (5.2.3) L −L L L −L L 68 2 3 y = x y = x 1 1 0.9 0.8 0.8 0.6 0.7 0.4 0.6 0.2 0.5 0 0.4 −0.2 0.3 −0.4 0.2 −0.6

Recently converted files (publicly available):