• Document: УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
  • Size: 276.7 KB
  • Uploaded: 2019-06-13 18:13:55
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Дифференциальные уравнения с частными производными Уравнение, связывающее неизвестную функцию u (x1 , x2 , . . . , xn ) , независимые переменные x1 , x2 , . . . , xn и частные производные от неизвестной функции, назы- вается дифференциальным уравнением с частными производными (или в частных производных ). Общий вид: ∂ ku   ∂u ∂u F x1 , . . . , xn , u, ,..., , . . . , k1 ,... = 0, (1) ∂x1 ∂xn ∂x1 · · · ∂xknn где k1 + · · · + kn = k . Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1), называется поряд- ком этого уравнения. Если уравнение (1) имеет порядок m , то его левая часть называется дифференциальным оператором в частных производных порядка m . Общий вид уравнения в частных производных 1-го порядка с 2 независимыми переменными x, y : F (x, y, u, p, q) = 0 , (2) где ∂u ∂u p= , q= . ∂x ∂y Общий вид уравнения в частных производных 2-го порядка с 2 независимыми пременными x, y : F (x, y, u, p, q, r, s, t) = 0 , (3) где ∂2u ∂2u ∂2u r=, s = , t = . ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Уравнение в частных производных называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех её частных производных. Общий вид линейного уравнения в частных производных 2-го порядка: n n X ∂ 2u X ∂u aij (x1 , . . . , xn ) + bi (x1 , . . . , xn ) + i,j=1 ∂xi ∂xj i=1 ∂xi = c (x1 , . . . , xn )u = f (x1 , . . . , xn ) . (4) Линейное уравнение (4) называется однородным, если f (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 , и неоднородным в противном случае. Уравнение в частных производных называется квазилинейным, если оно ли- нейно относительно старших производных неизвестной функции. 1 Характеристической формой квазилинейного или линейного уравнения 2-го порядка (4) называется квадратичная форма n X Q (λ1 . . . , λn ) = aij (x1 , . . . , xn )λi λj . (5) i,j=1 В зависимости от индексов инерции i+ и i− квадратичной формы (5) линей- ные уравнения 2-го порядка (4) подразделяются на типы следующим образом: № Индекс i+ Индекс i− Тип уравнения 1. n 0 0 n эллиптический 2. n-1 1 1 n-1 гиперболический 3. 1<k<n-1 n-k ультрагиперболический 4. n-1 0 0 n-1 параболический Мы будем рассматривать только линейные дифференциальные уравнения 2-го поря

Recently converted files (publicly available):