• Document: 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами.
  • Size: 563.96 KB
  • Uploaded: 2019-06-12 23:45:50
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Лекция 11 § 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными действительными коэффициентами ⎧ dx ⎪⎪ dt = a11 x + a12 y ⎨ (1) dy ⎪ =a x+a y ⎪⎩ dt 21 22 Точка покоя этой системы – начало координат x = y = 0 . Характеристическое уравнение имеет вид: a11 − λ a12 =0 ⇔ a21 a22 − λ λ 2 − ( a11 + a22 ) λ + ( a11a22 − a12 a21 ) ≡ λ 2 − λ Tr A + det A = 0 При решении последнего уравнения возможны следующие варианты. 1) Вещественные различные ненулевые собственные значения. В этом случае в некоторой системе координат общее решение системы (1) имеет вид λ2 ⎛ x ⎞ 1 ⎛ x ⎞ λ1 x = C1eλ1t , y = C2 eλ2t , где t = ln ⎜ ⎟ ⇒ y = C2 ⎜ ⎟ . λ1 ⎝ C1 ⎠ ⎝ C1 ⎠ λ2 ⎛ λ2 ⎞ ⎜ > 0, <1⎟ ⎛ x ⎞ λ1 ⎜⎝ λ1 ⎟⎠ а) Пусть λ1 < λ2 < 0 , тогда x = C1eλ1t → 0, y = C2 eλ2t → 0, y = C2 ⎜ ⎟ . t →+∞ t →+∞ ⎝ C1 ⎠ Точка покоя x = y = 0 – устойчивый узел – асимптотически устойчива. λ2 ⎛ λ ⎞ ⎜ > 0, 2 >1⎟⎟ ⎛ x ⎞ λ1 ⎜⎝ λ1 ⎠ б) Пусть 0 < λ1 < λ2 , тогда x = C1eλ1t → ∞, y = C2eλ2t → ∞, y = C2 ⎜ ⎟ . t →+∞ t →+∞ ⎝ C1 ⎠ Точка покоя x = y = 0 – неустойчивый узел – неустойчива. λ2 ( <0) λ1t λ2t ⎛ x ⎞ λ1 в) Пусть λ1 < 0 < λ2 , тогда x = C1e → 0, y = C2 e → ∞, y = C2 ⎜ ⎟ . t →+∞ t →+∞ ⎝ C1 ⎠ Точка покоя x = y = 0 – седло – неустойчива. Траектории решений системы (1) вблизи точек покоя представлены на рисунке. устойчивый узел неустойчивый узел седло 2) Комплексно – сопряженные собственные значения λ1 = α + iβ , λ2 = α − i β . Тогда в некоторой системе координат общее решение рассматриваемой системы (1) x2

Recently converted files (publicly available):