• Document: Las ecuaciones de Pfaff
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FACULTAD DE MATEMÁTICAS Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico TRABAJO FIN DE GRADO Las ecuaciones de Pfaff Realizado por: Dirigido por: Andrea Antón Dı́az Marı́a Ángeles Rodrı́guez Bellido Sevilla, Junio 2017 Índice general Abstract 5 Introducción 7 0.1. Estructura de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Ecuaciones de Pfaff 9 1.1. Ecuación de Pfaff en dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Ecuación Diferencial Ordinaria exacta . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Ecuación Diferencial Ordinaria reducible a exacta . . . . . . . . . . 12 1.1.3. Ecuación de Pfaff 2-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Ecuación de Pfaff en tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1. Interpretación geométrica de la integrabilidad . . . . . . . . . . . . 22 1.3. Comentarios bibliográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. Métodos de resolución de las ecuaciones de Pfaff en tres variables 25 2.1. Por inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Una variable separable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Ecuaciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Método de Natani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6. Reducción a una Ecuación Diferencial Ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. Relación con las 1-formas 35 3.1. Integral curvilı́nea. Independencia del camino . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Teorema de Stokes. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Comentarios bibliográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4. Aplicación a la Termodinámica: El Teorema de Carathéodory 41 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Teorema de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3. Aplicación a la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4. Comentarios bibliográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5. Aplicaciones geométricas 51 5.1. Trayectorias ortogonales de un sistema de curvas en el plano . . . . . . . . 51 5.2. Trayectorias ortogonales de un sistema de curvas en una superficie . . . . . 53 5.3. Superficies ortogonales a una familia de curvas en el espacio . . . . . . . . 55 3 4 Índice general 5.4. Superficies ortogonales a las lı́neas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.5. Comentarios bibliográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6. Aplicación a la resolución de una EDP: Método de Lagrange-Charpit 61 6.1. Comentarios bibliográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 A. Resultados básicos 67 A.1. Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 A.2. Teorema de existencia y unicidad del Problema de Cauchy para EDPs de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 A.3. Teorema de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 A.4. Solución general de una Ecuación Lineal en Derivadas Parciales . . . . . . 69 A.5. Teorema de la función implı́cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Bibliografı́a

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