• Document: Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
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Université Bordeaux1 - IUT HSE Probabilités et statistiques IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille 2 : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de phy- sique et 3 de chimie. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement : i. si les livres doivent être groupés par matières. ii. si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés Exercice 2. Soient n et p deux entiers non nuls. n−1 i. Montrez qu’il y a Cp+n−1 possibilités façons de répartir p enveloppes identiques dans n boı̂tes aux lettres ? ii. Supposons p > n. De combien de façons peut-on répartir p enveloppes identiques dans n boı̂tes aux lettres de sorte qu’aucune boı̂te aux lettres ne reste vide ? iii. De combien de façons peut-on répartir p enveloppes distinctes dans n boı̂tes aux lettres ? Indication : Si vous n’arrivez pas à voir ce qui se passe, essayez avec n = 3 et p = 5 pour lister les possibilités. Probabilités de base Exercice 3. Dans la salle des profs 60% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle est la probabilité pour qu’un porteur de lunettes pris au hasard soit une femme ? Exercice 4. En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou équivalent), deux sur cinq prennent un médicament M présentant des effets secondaires. Avec l’aspirine, 75% des patients sont soulagés. Avec le médicament M, 90% des patients sont soulagés. i. Quel est le taux global de personnes soulagées ? ii. Quel est la probabilité pour un patient d’avoir pris de l’aspirine sachant qu’il est soulagé ? Exercice 5. Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On tire une boule au hasard de façon équiprobable. On considère les deux évènements suivants — A on tire une boule paire — B on tire un multiple de 3. Calculez les probabilités P(A), P(B), P(A ∩ B). Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Même question avec une urne contenant 13 boules. Exercices corrigés 2013-2014 Université Bordeaux1 - IUT HSE Probabilités et statistiques Lois discrètes usuelles Exercice 6. A et B sont deux avions ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les moteurs sont supposés indépendants les uns des autres, et ils ont une probabilité p de tomber en panne. Chaque avion arrive à destination si moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne. Quel avion choisissez- vous ? (on discutera en fonction de p) Exercice 7. On sait que la peste touche une personne sur cinq. Un vaccin est testé sur 10 personnes (inépendantes) : aucune n’est touchée. i. Calculer la probabilité de ce résultat si on suppose que le vaccin n’a aucun effet. ii. Comparer le résultat avec celui d’une autre expérience où 20 personnes ont pris le vaccin, dont une seule a été touchée. Exercice 8. Le service de dépannage d’un grand magasin dispose d’équipes intervenant sur appel de la clientèle. Pour des causes diverses, les interventions ont parfois lieu avec retard. On admet que les appels se produisent indépendamment les uns des autres, et que, pour chaque appel, la probabilité d’un retard est de 0,25. Un client appelle le service à 4 reprises. On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de fois où ce client a dû subir un retard. i. Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance, sa variance. ii. Calculer la probabilité de l’évènement : ”Le client a au moins subi un retard” Exercice 9. Dans une boı̂te, il y a 52 cartes numérotées de 1 à 52. On effectue des tirages successifs avec remise, jusqu’à obtenir la carte n. Soit Z le nombre de tirages effectués. i. Quelle est la loi de Z. Calculer la probabilité que le nombre de cartes tirées soit égal à k, pour k ≥ 1. ii. Quelle est la probabilité que le nombre de cartes tirées soit inférieur ou égal à 30 ? Exercice 10. La surface extérieure d’un ballon de foot est composée de 20 hexagones réguliers numérotés de 1 à 20 et de 12 pentagones réguliers numérotés de 1 à 6, chaque numéro apparaissant sur deux pentagones. Après lancer, la probabilité que le ballon tombe sur un pentagone particulier est p alors que la probabilité qu’il tombe sur un hexagone particulier est p0 . On lance le ballon de manière indépendante jusqu’à ce qu’il tombe sur un pentagone. On note X le numéro du pentagone concerné, N le nombre de l

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