• Document: Лекция 2. Применение эллиптических функций для интегрирования уравнений нелинейных колебаний
  • Size: 440.23 KB
  • Uploaded: 2019-06-12 14:51:50
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Лекция 2 Применение эллиптических функций для интегрирования уравнений нелинейных колебаний «Естественным» способом описания линейных колебаний были тригонометрические функции sin x , cosx . Для описания нелинейных колебаний требуются более сложные специальные функции. 1. Эллиптические интегралы. О.: Интеграл  d u  F ( , k )   (1) 0 1  k 2 sin 2  называется эллиптическим интегралом I-го рода. Величина k в выражении (1) носит название параметра эллиптического  интеграла. Если |  |  , то справедливо соотношение 2  sin  d dx F ( , k )     . 0 1  k sin  2 2 0 (1  x )(1  k 2 x 2 ) 2 Графики функции F ( , k ) для разных значений k приведены на рис. 2.1. Очевидно, что при k  0 график является прямой u   . При k  1 значение  интеграла (1) стремится к  при    . 2 Рис. 2.1. График функции F (, k )  В частном случае   интеграл (1) называют полным эллиптическим 2 интегралом I-го рода:  /2 d K (k )  0 1  k 2 sin2  (2) Рис. 2.2 демонстрирует, каким образом значение интеграла (2) зависит от значения модуля k . При k  1 интеграл K(k )   . Рис. 2.2. График K(k ) Значение полного эллиптического интеграла I-го рода равно сумме бесконечных рядов    1 3  4  2 2 1  K (k )  1    k 2    k    2 2  24    и 2 4 1  4 2  2 K (k )  ln     ln  k  k   2   k  1  2   1 3   4 2 2 2  4    ln    k   2  4   k 1 2 3  4  Здесь k   1  k 2 - дополнительный модуль. 2. Эллиптические функции. О.: Функция «амплитуда  »   amu (3) является обратной к функции F (, k ) . Легко устанавливается, что 1 (4) d  du      1  k

Recently converted files (publicly available):