Result

Ćwiczenie 6 Interferometr Macha-Zehndera. Zapis sinusoidalnej siatki dyfrakcyjnej i pomiar jej okresu przestrzennego. Interferometr Macha-Zehndera Interferometr Macha-Zehndera jest często wykorzystywany w wielu zagadnieniach technicznych, ponieważ wiązki w jego dwóch ramionach pokonują tę samą drogę optyczną, ale biegną dwoma różnymi torami. Schemat takiego interferometru ilustruje Rys. 1. Wiązka pada na zwierciadło półprzepuszczalne G1, jedna jej część przez nie przechodzi i odbijając się od zwierciadła całkowicie odbijającego M1 pada na drugie zwierciadło półprzepuszczalne G2 i odbija się od niego w kierunku ekranu. Druga część wiązki odbija się od zwierciadła G1, następnie od zwierciadła M2, przechodzi przez zwierciadło G2 i pada na ekran. Rys. 1 – Schemat interferometru Macha-Zehndera. Siatka dyfrakcyjna Załóżmy, że dwie fale płaskie 𝑒 𝑖𝑘⃗⃗⃗⃗1 𝑟 i 𝑒 𝑖𝑘⃗⃗⃗⃗2 𝑟 o wektorach falowych ⃗⃗⃗⃗ 𝑘1 i ⃗⃗⃗⃗ 𝑘2 leżących w płaszczyźnie OXZ, tworzą te same kąty α z osią OZ. Zgodnie z geometrią pokazaną na Rys. 2 wektory falowe mają postać ⃗⃗⃗⃗ 𝑘1 = [𝑘𝑥 , 0, 𝑘𝑧 ] oraz ⃗⃗⃗⃗ 𝑘2 = [−𝑘𝑥 , 0, 𝑘𝑧 ], gdzie: 𝑘𝑥 = 𝑘 ∙ sin 𝛼 (1) 4𝜋 2 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑧2 = 𝑘 2 = (2) 𝜆2 1  Rys. 2 – Dwie fale płaskie - geometria. Pole interferencyjne w płaszczyźnie OXY jest opisane funkcją: 𝑈(𝑥) = (𝑒 𝑖𝑘⃗⃗⃗⃗1 𝑟 + 𝑒 𝑖𝑘⃗⃗⃗⃗2 𝑟 ) |𝑧=0 = 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑥 = 2 cos 𝑘𝑥 𝑥 (3) Jeżeli w płaszczyźnie OXY umieścimy kliszę fotograficzną, wówczas zarejestrujemy na niej natężenie powyższego pola w postaci: 𝐼(𝑥) = |𝑢|2 = 4 cos2 𝑘𝑥 𝑥 (4) Maksima interferencyjne zostaną zapisane w postaci ciemnych prążków, równoległych do osi OY, a współrzędne ich środków spełniają równanie: 𝑚𝜆 𝑘𝑥 𝑥 = 𝑚𝜋 ↔ 𝑥 = , (5) 2 sin 𝛼 gdzie m jest liczbą całkowitą. Ponieważ natężenie (4) jest opisane funkcją trygonometryczną, to w ten sposób otrzymamy sinusoidalną siatkę dyfrakcyjną o stałej: 𝜆 𝑑= (6) 2 sin 𝛼 równej odległości między sąsiednimi prążkami. Z symetrii zagadnienia zilustrowanego na Rys. 2 wynika, że identyczny układ prążków powstanie, gdy kliszę umieścimy w dowolnej płaszczyźnie równoległej do OXY. W związku z tym możemy stwierdzić ogólnie, że w obszarze interferencji płaskich frontów falowych o wektorach ⃗⃗⃗⃗ 𝑘1 i ⃗⃗⃗⃗ 𝑘2 , tworzących ze sobą kąt α, maksima interferencyjne leżą na płaszczyznach wzajemnie do siebie równoległych. Odległość między sąsiednimi płaszczyznami to właśnie d. Płaszczyzny te są równoległe również do dwusiecznej kąta między wektorami ⃗⃗⃗⃗ 𝑘1 i ⃗⃗⃗⃗ 𝑘2 oraz prostopadłe do płaszczyzny wyznaczonej przez𝑘 ⃗⃗⃗⃗1 i ⃗⃗⃗⃗ 𝑘2 . Odpowiednia sytuacja jest pokazana na Rys. 3. 2  Rys. 3 – Płaszczyzny maksimów interferencyjnych. Jednowymiarową siatkę dyfrakcyjną o stałej d wzdłuż osi OX nazywamy optyczną strukturą periodyczną, spełniającą warunek: 𝑇(𝑥) = 𝑇(𝑥 + 𝑑), (7) gdzie funkcję T(x) nazywa się transmitancją. W ogólności transmitancja T(x,y) opisuje płaski, dwuwymiarowy obiekt optyczny, który ma tą własność, że pole 𝑈− (𝑥, 𝑦) padające na ten obiekt, jest tuż za nim transformowane w pole 𝑈+ (𝑥, 𝑦) = 𝑈− (𝑥, 𝑦) ∙ 𝑇(𝑥, 𝑦). Zatem jeżeli siatka dyfrakcyjna opisana wzorem (7) jest oświetlona falą płaską prostopadle do swojej powierzchni, wówczas można przyjąć 𝑈− (𝑥, 𝑦) = 𝑎 = 𝑐